Integrali, spiegati davvero · 3. A cosa servono, dal tornio all’ospedale

Nelle prime due puntate abbiamo visto che cos’è un integrale e come si calcola. Ora la domanda più importante: a cosa serve? La risposta breve è: ogni volta che una quantità si accumula un pezzetto alla volta. Aree, volumi, lavoro, ma anche il farmaco che circola nel sangue o il sangue che esce dal cuore. In questa puntata usiamo gli integrali come li usa un ingegnere, con esempi presi dall’ospedale, e scopriamo cosa succede quando un integrale arriva fino all’infinito.

Il metodo dell’ingegnere: affetta e somma

Tutte le applicazioni seguono la stessa ricetta in tre passi, ed è la cosa più utile da portarsi via da questa puntata:

1. Affetta: dividi l’oggetto in pezzi così sottili che dentro ognuno la quantità che cambia (altezza, raggio, forza, concentrazione) si può considerare costante.
2. Calcola un pezzo: con le formule elementari, quelle delle medie. Una fetta di area è altezza per larghezza; un disco è \(\pi r^2\) per lo spessore; un pezzo di lavoro è forza per spostamento.
3. Somma: l’integrale fa il resto.

Se sai scrivere il pezzo, sai scrivere l’integrale.

L’area tra due curve

Per l’area compresa tra due curve, ogni fetta verticale è alta «curva di sopra meno curva di sotto». Prima si trovano i punti dove le curve si incontrano, che diventano gli estremi, poi si integra la differenza:

\[\text{Area} = \int_a^b \big(f_{\text{sopra}}(x)-f_{\text{sotto}}(x)\big)\,dx\]

Nel disegno, la retta \(y=x\) e la parabola \(y=x^2\) si incontrano dove \(x = x^2\), cioè in 0 e in 1. Tra i due punti la retta sta sopra. L’area è \(\int_0^1 (x-x^2)\,dx = \frac12-\frac13 = \frac16\). Con questo metodo l’area viene sempre positiva, purché si sottragga nell’ordine giusto: se le curve si scambiano di posto, si spezza l’intervallo nel punto in cui si incrociano.

Volumi: affettare un solido

Se fai girare una curva \(y=f(x)\) attorno all’asse x, ottieni un solido, come un vaso fatto al tornio. Tagliato a fette perpendicolari all’asse, ogni fetta è un disco di raggio \(f(x)\) e spessore \(dx\), quindi di volume \(\pi f(x)^2\,dx\). Sommando:

\[V = \pi\int_a^b f(x)^2\,dx\]

Con questa formula si dimostrano formule che a scuola si imparano a memoria:

• La sfera. Il mezzo cerchio \(y=\sqrt{r^2-x^2}\) ruotato attorno all’asse dà una sfera. \(V = \pi\int_{-r}^{r}(r^2-x^2)\,dx = \pi\left(2r^3-\frac{2r^3}{3}\right) = \frac43\pi r^3\). Ecco da dove viene il 4/3.
• Il cono. La retta \(y = \frac{r}{h}x\) tra 0 e h ruotata dà un cono. \(V = \pi\frac{r^2}{h^2}\int_0^h x^2\,dx = \frac13\pi r^2 h\). Ecco da dove viene l’1/3: un cono è un terzo del cilindro con la stessa base e la stessa altezza.

Lo stesso principio, affettare e sommare, è quello di una TAC: la macchina ricostruisce il corpo per fette sottili, e il software calcola il volume di un organo o di un tumore sommando l’area di ogni fetta per il suo spessore. È un integrale fatto con i numeri, come i rettangoli della prima puntata. Le macchine della TAC sono nell’Ospedale del sito.

Valor medio e lavoro

Il valor medio di una grandezza che cambia nel tempo è l’integrale diviso per la durata: \(\bar f = \frac{1}{b-a}\int_a^b f\). Per esempio, la pressione arteriosa media non è la media tra massima e minima: il cuore passa più tempo in diastole che in sistole, e la media vera si ottiene integrando la curva della pressione su un battito e dividendo per la durata. I monitor in terapia intensiva fanno esattamente questo calcolo. La regola pratica «minima più un terzo della differenza» è solo un’approssimazione della stessa idea.

Il lavoro di una forza costante è forza per spostamento. Se la forza cambia lungo il percorso, si affetta: \(W = \int_a^b F(x)\,dx\). Una molla tira con una forza proporzionale all’allungamento, \(F = kx\) (legge di Hooke). Per allungarla da 0 a s serve un lavoro \(W = \int_0^s kx\,dx = \frac12 k s^2\): è l’energia che la molla accumula, la stessa che poi restituisce.

In ospedale 1: quanto farmaco «vede» il corpo

Quando prendi una pastiglia, la concentrazione del farmaco nel sangue sale mentre viene assorbito, arriva a un picco e poi scende mentre il corpo lo elimina. I farmacologi tracciano questa curva prelevando sangue a orari diversi. L’area sotto la curva ha un nome: AUC, dall’inglese area under the curve.

Perché l’area e non il picco? Perché l’effetto di molti farmaci dipende da quanta sostanza è passata in tutto e per quanto tempo, non solo dal valore massimo. L’AUC si usa per tre cose concrete:

• Biodisponibilità: per sapere quanto di una pastiglia arriva davvero nel sangue, si confronta l’AUC della pastiglia con quella della stessa dose fatta in vena, dove arriva tutto. Il rapporto delle due aree è la frazione assorbita.
• Farmaci generici: per essere approvato come equivalente, un generico deve dare un’AUC e un picco statisticamente simili a quelli dell’originale. Nelle norme europee, il rapporto tra le due AUC deve stare con buona confidenza tra 80% e 125%.
• Clearance: la capacità del corpo di eliminare il farmaco è \(CL = \frac{\text{dose assorbita}}{AUC}\). Un integrale, quindi, misura anche quanto lavorano reni e fegato.

Nel modello più semplice, con un solo «compartimento», per una dose orale la concentrazione è

\[C(t) = \frac{D\,k_a}{V\,(k_a-k_e)}\left(e^{-k_e t}-e^{-k_a t}\right)\]

dove \(k_a\) dice quanto in fretta il farmaco viene assorbito e \(k_e\) quanto in fretta viene eliminato. Integrando da 0 all’infinito i due esponenziali danno \(\frac{1}{k_e}\) e \(\frac{1}{k_a}\), e dopo le semplificazioni resta un risultato pulitissimo: \(AUC = \frac{D}{V\,k_e}\). La velocità di assorbimento sparisce: cambia la forma della curva, ma non l’area. Provalo con il simulatore: muovi \(k_a\) e guarda il picco spostarsi mentre l’AUC resta ferma; poi raddoppia la dose e guarda l’area raddoppiare.

In ospedale 2: misurare il cuore con un’area

Quanto sangue pompa il cuore in un minuto? Si chiama gittata cardiaca e in terapia intensiva si misura con un trucco elegante, la termodiluizione. Attraverso un catetere si inietta nel cuore destro una piccola quantità di soluzione fredda. Il freddo si mescola al sangue e, più avanti, nell’arteria polmonare, un sensore registra quanto cala la temperatura secondo dopo secondo.

L’idea è la stessa di versare un cucchiaio di colorante in un fiume. Se il fiume è grande e veloce, il colore si diluisce subito e passa in fretta: la curva della concentrazione è bassa e corta, e l’area è piccola. Se il fiume è lento, l’area è grande. Il «freddo» iniettato si conserva, quindi tutto quello che è stato messo deve passare dal sensore. Ne viene la formula di Stewart-Hamilton: la gittata è uguale alla quantità di freddo iniettato diviso l’area sotto la curva della temperatura, moltiplicata per una costante che tiene conto delle densità e dei calori specifici di sangue e soluzione.

\[Q = \frac{V_{\text{iniett.}}\,(T_{\text{sangue}}-T_{\text{iniett.}})\,K}{\int_0^{\infty}\Delta T(t)\,dt}\]

Il monitor calcola l’integrale sommando i campioni del sensore, proprio con i trapezi. Lo stesso principio, con un colorante al posto del freddo, è il metodo di diluizione dell’indicatore usato già nell’Ottocento.

La spirometria fa il contrario: lo spirometro misura il flusso d’aria in litri al secondo e lo integra nel tempo per ottenere il volume. Il numero più famoso dell’esame, il FEV1, è il volume espirato nel primo secondo di un’espirazione forzata: \(\int_0^1 \text{flusso}(t)\,dt\). Anche il ventilatore polmonare controlla così quanta aria entra a ogni respiro.

Fino all’infinito: gli integrali impropri

Finora gli estremi erano numeri. Ma a volte serve sommare per sempre: un farmaco che si elimina all’infinito, un’onda che si spegne lentamente. Si calcola l’integrale fino a un numero grande b e poi si guarda cosa succede quando b cresce senza fine. Se il risultato si avvicina a un numero, l’integrale converge; altrimenti diverge.

• \(\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^2}\): fino a b vale \(1-\frac1b\), che si avvicina a 1. Un’area infinitamente lunga ma finita.
• \(\int_1^{\infty}\frac{dx}{x}\): fino a b vale \(\ln b\), che cresce senza limite. Diverge, anche se la curva scende verso zero.
• \(\int_0^{\infty}e^{-x}dx = 1\): è il motivo per cui l’AUC di un farmaco, anche se la curva non arriva mai a zero, è un numero finito.

La differenza tra \(\frac1x\) e \(\frac{1}{x^2}\) è sottile ma decisiva: non basta che la curva scenda verso zero, deve scendere abbastanza in fretta. La regola generale: \(\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^p}\) converge solo se \(p>1\).

Lo stesso vale quando è la funzione a esplodere vicino a un punto. \(\int_0^1\frac{dx}{\sqrt x}\) vale 2, anche se in 0 la curva va all’infinito: la punta è infinitamente alta ma così sottile che l’area resta finita. Invece \(\int_0^1\frac{dx}{x^2}\) diverge. Qui la regola si rovescia: \(\int_0^1\frac{dx}{x^p}\) converge solo se \(p<1\).

Il risultato più famoso è quello della campana di Gauss: \(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}\). La funzione non ha una primitiva elementare, eppure l’area totale si conosce esattamente, con un trucco che passa per le due dimensioni. È il numero che sta dietro a tutta la statistica: la curva degli errori di misura, delle altezze di una popolazione, del rumore negli strumenti.

La tromba di Gabriele: si riempie ma non si vernicia

Ruota la curva \(y = \frac1x\), per x da 1 all’infinito, attorno all’asse x. Ottieni una tromba infinitamente lunga che si stringe sempre di più. È detta tromba di Gabriele, come l’arcangelo della tromba del giudizio; la studiò Evangelista Torricelli, l’allievo di Galileo, negli anni Quaranta del Seicento.

Il volume: \(V = \pi\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^2} = \pi\). Finito. La superficie invece è infinita: la si può confrontare con \(2\pi\int_1^{\infty}\frac{dx}{x}\), che diverge. Ne viene un paradosso famoso: la tromba si potrebbe riempire con π litri di vernice, ma non ci sarebbe mai abbastanza vernice per dipingerne la superficie. Il paradosso si scioglie pensando che la vernice vera ha uno spessore, e nella parte infinitamente stretta della tromba non ci entrerebbe. All’epoca, però, un oggetto infinito con volume finito fece scalpore.

Quando non c’è la primitiva: i metodi numerici

Nella vita reale spesso non c’è una formula da integrare, ma una serie di misure: i campioni di un sensore, i prelievi di sangue. E a volte la primitiva non si può scrivere. In questi casi si torna ai rettangoli della prima puntata, migliorati.

Con sole 4 fette sull’integrale di \(\sin x\) tra 0 e π, che vale 2: i trapezi sbagliano di circa 0,10, il punto medio di 0,05, Simpson di 0,005. Simpson segue la curva con pezzi di parabola, e per le funzioni lisce è precisissimo. È per questo che calcolatrici, monitor e programmi usano metodi di questo tipo. Prova qui sotto con la campana di Gauss, che non ha primitiva: porta gli estremi a −4 e 4, scegli Simpson e con pochi intervalli ottieni già \(\sqrt\pi \approx 1{,}7725\) a meno di un’inezia (oltre ±4 la campana è così bassa che non conta quasi niente).

Palestra: esercizi svolti

In ordine di difficoltà. Disegna sempre la situazione prima di scrivere l’integrale: metà degli errori nascono da un disegno mancato.

Quiz: dal più facile al più difficile

Fine del viaggio (per ora)

Ricapitolando la serie: un integrale è una somma di pezzi infinitamente piccoli; si calcola con una primitiva grazie al teorema fondamentale; per trovare la primitiva ci sono quattro attrezzi e uno schema per sceglierli; e serve ovunque qualcosa si accumuli, dal contachilometri al farmaco nel sangue. Se ti è rimasto un dubbio, la domanda giusta da farsi è sempre la stessa: qual è il pezzetto che sto sommando? Nella sezione Biomedica trovi altri argomenti di ingegneria biomedica, e nell’Ospedale le macchine che fanno questi calcoli ogni giorno.

Bibliografia e fonti

• Appunti personali dei corsi di Analisi Matematica 1 e 2, ingegneria biomedica e clinica (integrali definiti, impropri e criteri di convergenza), riscritti con parole ed esempi nuovi.
• Wikipedia, Integrale improprio e Tromba di Torricelli.
• Wikipedia, Integrale di Gauss.
• Wikipedia, Area under the curve (pharmacokinetics) e Biodisponibilità.
• Agenzia europea per i medicinali, Guideline on the investigation of bioequivalence: l’intervallo 80-125% per l’AUC dei generici.
• Wikipedia, Cardiac output, sezione sui metodi a diluizione di indicatore e la termodiluizione (formula di Stewart-Hamilton).
• Wikipedia, Spirometria, per FEV1.
• Tutti i risultati degli esercizi sono stati verificati con SymPy. Il simulatore del farmaco usa un modello semplificato a un compartimento, solo a scopo didattico.
• Grafiche: sandrofeudo.com. Copertina: immagine illustrativa.

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