Fibonacci, il numero che si nasconde ovunque: dai girasoli alla risonanza, dal cielo alla Borsa

Trasparenza. In questa pagina ci sono collegamenti di affiliazione, segnati con affiliazione: se compri passando da lì ricevo una piccola commissione, senza costi in più per te. Come funziona

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55… Prendi due numeri, sommali, e hai il successivo. Una regola che un bambino capisce in dieci secondi. Eppure questa piccola lista, la successione di Fibonacci, compare nella testa di un girasole, nell’albero genealogico di un’ape, nel modo in cui Venere danza intorno alla Terra e perfino dentro le macchine per la risonanza magnetica degli ospedali. Accanto a lei c’è sempre un numero speciale, φ (si legge «fi»), che vale 1,618…

Questo articolo segue una sola domanda, quella che mi faccio sempre: perché funziona così? E la risposta, vedrai, è un unico filo che lega tutto: la matematica, le piante, il cielo e la medicina. Alla fine ci sarà anche uno spazio per le storie in cui la fantasia ha un po’ esagerato, perché fanno parte del fascino.

Da dove arriva: un mercante, i conigli e un poeta indiano

Leonardo Pisano, detto Fibonacci, era figlio di un mercante pisano e da ragazzo aveva visto in Nord Africa come facevano i conti gli arabi. Nel 1202 pubblicò il Liber Abaci, il libro che fece conoscere in Europa le cifre indo-arabe (0, 1, 2… 9) al posto dei numeri romani. Una rivoluzione: provate a fare una moltiplicazione con MCMXII e capirete perché.

Dentro il libro c’è un esercizio diventato famoso. Una coppia di conigli appena nata diventa adulta dopo un mese, e da quel momento ogni mese genera una nuova coppia. Nessun coniglio muore. Quante coppie ci sono mese dopo mese? Contando con pazienza si ottiene 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… e dopo un anno le coppie sono 377 (MacTutor, Università di St Andrews; Britannica).

Il trucco è tutto nella figura: le coppie di questo mese sono quelle che c’erano il mese scorso (nessuno muore) più i figli di quelle che erano adulte già due mesi fa. Ecco la regola: F(n) = F(n−1) + F(n−2).

Fibonacci però non l’ha inventata. Secoli prima, in India, Pingala e poi altri studiosi di poesia avevano trovato gli stessi numeri contando in quanti modi si può comporre un verso con sillabe brevi (che valgono 1) e lunghe (che valgono 2) (Singh, Historia Mathematica 1985; Wikipedia, Pingala). È lo stesso problema delle scale: se sali un gradino o due alla volta, una scala di 4 gradini si fa in 5 modi, una di 5 gradini in 8 modi. Il nome «numeri di Fibonacci» glielo diede solo nell’Ottocento il matematico francese Édouard Lucas.

La matematica, passo passo: da una somma a φ

Ora la parte più bella. Prendiamo ogni numero e dividiamolo per quello che lo precede:

• 2 ÷ 1 = 2
• 3 ÷ 2 = 1,5
• 5 ÷ 3 = 1,667
• 8 ÷ 5 = 1,6
• 13 ÷ 8 = 1,625
• 21 ÷ 13 = 1,6154
• 34 ÷ 21 = 1,6190
• 377 ÷ 233 = 1,61803…

Il risultato salta un po’ sopra e un po’ sotto, ma si stringe sempre di più intorno a un valore: 1,6180339… Quel numero è φ, la sezione aurea.

Perché proprio quel numero? Una dimostrazione in tre righe. Chiamiamo r il rapporto tra un numero e il precedente, quando ormai si è stabilizzato. Dalla regola F(n+1) = F(n) + F(n−1), dividendo tutto per F(n):

F(n+1)/F(n) = 1 + F(n−1)/F(n)

Il primo pezzo è r. L’ultimo è il rapporto «al contrario», cioè 1/r. Quindi r = 1 + 1/r. Moltiplicando per r: r² = r + 1. È un’equazione di secondo grado, e la sua soluzione positiva è r = (1 + √5) / 2 = 1,6180339… Ecco φ. Non serve magia: φ è scritto dentro la regola «somma i due precedenti».

Un numero con una proprietà curiosa. Dato che φ² = φ + 1, il quadrato di φ è φ più uno: 2,618… E dividendo per φ si ottiene 1/φ = φ − 1 = 0,618… Stesse cifre dopo la virgola! φ è l’unico numero positivo che, quando lo capovolgi, perde semplicemente 1. Il 61,8 % lo ritroveremo più avanti, nei grafici di Borsa.

La formula di Binet: saltare direttamente al numero che vuoi. Per sapere il 30° numero di Fibonacci non serve calcolare tutti quelli prima. Esiste una formula, che porta il nome di Jacques Binet:

F(n) = (φⁿ − ψⁿ) / √5, dove ψ = (1 − √5)/2 = −0,618…

Il bello è che ψ è un numero piccolo (in valore è minore di 1), quindi le sue potenze diventano subito minuscole: ψ¹⁰ vale circa 0,008. In pratica basta calcolare φⁿ ÷ √5 e arrotondare all’intero più vicino. Prova: φ¹⁰ = 122,99…; diviso √5 (2,236) fa 55,004. Arrotondato: 55, che è proprio il decimo numero di Fibonacci. Una formula piena di radici quadrate che, ogni volta, sputa fuori un numero intero: è uno dei piccoli miracoli della matematica.

Il numero «più irrazionale» di tutti. Qui c’è il segreto che spiega il resto dell’articolo. Ogni numero si può scrivere come una «frazione continua», una frazione dentro un’altra frazione. Per φ, partendo da r = 1 + 1/r e sostituendo r dentro sé stesso all’infinito, viene:

φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + …)))

Solo uni, per sempre. Fermandosi a vari punti si ottengono 1, 2, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8…: proprio i rapporti di Fibonacci. Ora, nelle frazioni continue i numeri grandi sono «scorciatoie»: permettono di avvicinarsi a un numero con una frazione semplice (per esempio π è quasi 355/113 grazie a un 292 nella sua frazione continua). φ invece ha solo 1, il valore più piccolo possibile: nessuna scorciatoia. Per questo i matematici dicono che φ è il numero più difficile da approssimare con una frazione, il «più irrazionale» di tutti (è un risultato classico, il teorema di Hurwitz).

Tienilo a mente, perché è il filo che lega tutto: se ruoti qualcosa ogni volta di una frazione di giro legata a φ, non tornerai mai, nemmeno quasi, nella stessa posizione. Il girasole lo usa per i semi, la risonanza magnetica per i suoi raggi.

Tre curiosità da provare a casa

Il quadrato che cambia area. Prendi tre numeri di Fibonacci vicini, per esempio 5, 8, 13. Il prodotto di quelli esterni (5 × 13 = 65) e il quadrato di quello in mezzo (8 × 8 = 64) differiscono sempre di 1. Funziona per qualsiasi terna: 8 × 21 = 168 e 13 × 13 = 169. È l’identità di Cassini: F(n−1)·F(n+1) − F(n)² = ±1, con il segno che si alterna. Da qui nasce un vecchio gioco di prestigio: si taglia una scacchiera 8×8 (64 caselle) in quattro pezzi e li si rimonta in un rettangolo 5×13 (65 caselle). Da dove esce la casella in più? Da nessuna parte: lungo la diagonale resta una fessura sottilissima, quasi invisibile, che ha proprio l’area di una casella. Funziona così bene perché 8/5 e 13/8 sono quasi uguali.

Ogni numero è una somma di Fibonacci. Qualsiasi numero intero si può scrivere come somma di numeri di Fibonacci diversi e mai vicini tra loro, e in un solo modo: è il teorema di Zeckendorf. Si fa sempre allo stesso modo: prendi il Fibonacci più grande che ci sta, togli, ripeti. 100 = 89 + 8 + 3. 50 = 34 + 13 + 3.

Il trucco miglia-chilometri. Un miglio è 1,609 km, quasi φ. Quindi per passare da miglia a chilometri basta prendere il Fibonacci successivo: 5 miglia ≈ 8 km (il vero è 8,05), 8 miglia ≈ 13 km (12,87), 13 miglia ≈ 21 km (20,9). E per un numero qualunque si usa Zeckendorf: 50 miglia = 34 + 13 + 3, che diventano 55 + 21 + 5 = 81 km (il valore esatto è 80,5). Per altri giochi con i numeri ci sono gli strumenti del sito e le sette formule, un solo linguaggio.

Natura: il girasole che conosce la matematica senza saperlo

Guarda da vicino la testa di un girasole maturo: i semi formano spirali che girano in senso orario e altre in senso antiorario. Contale, e molto spesso troverai una coppia di numeri di Fibonacci vicini, come 34 e 55 o 55 e 89. Il controllo più grande l’ha fatto il progetto «Turing’s Sunflowers», in cui tanti volontari hanno coltivato e contato girasoli: su 768 conteggi, 565 erano numeri di Fibonacci e altri seguivano successioni parenti strette (Swinton e Ochu, Royal Society Open Science 2016; testo completo su PMC). Circa uno su cinque faceva di testa sua: la natura ama Fibonacci, ma non è una legge rigida. Il progetto porta il nome di Alan Turing, che negli ultimi anni di vita studiava proprio come nascono queste forme.

Il perché è il filo di prima. Ogni nuovo seme nasce al centro, ruotato di circa 137,5° rispetto al precedente, e poi viene spinto verso l’esterno. È l’angolo aureo: 360° diviso φ², oppure, che è lo stesso, la parte più piccola di un giro tagliato secondo la sezione aurea (360° − 222,5°).

Mezzo grado fa tutta la differenza. Un angolo che è una frazione «semplice» del giro (un terzo, due quinti…) prima o poi riporta i semi sulle stesse direzioni e lascia dei vuoti. L’angolo aureo, essendo legato al numero più irrazionale, non lo fa mai: è il modo migliore di stipare il massimo dei semi nel minimo spazio. Le piante non «conoscono» φ: è la crescita stessa, con i nuovi germogli che nascono dove c’è più spazio lontano dai precedenti, a portare a quell’angolo. Due fisici francesi lo hanno mostrato con un esperimento bellissimo, facendo cadere goccioline magnetiche che si respingevano in un piatto d’olio: da sole si disponevano a spirali, con l’angolo aureo (Douady e Couder, Physical Review Letters 1992). È lo stesso modo di pensare di «e se la natura avesse già trovato la soluzione?».

Le spirali che contiamo, poi, sono numeri di Fibonacci per lo stesso motivo: i semi che si trovano «quasi allineati» sono quelli separati da 8, 13, 21, 34 passi, perché 8/13, 13/21, 21/34 sono le frazioni che si avvicinano meglio all’angolo aureo. Lo stesso disegno lo trovi nelle pigne (spesso 8 spirali in un verso e 13 nell’altro), negli ananas, nei cavolfiori e nella disposizione delle foglie lungo molti steli.

L’albero genealogico dell’ape. Nelle api il maschio (il fuco) nasce da un uovo non fecondato: ha solo la madre. La femmina ha madre e padre. Risalendo l’albero di un fuco si trovano 1 madre, 2 nonni, 3 bisnonni, 5 trisnonni, 8 antenati alla generazione dopo: esattamente Fibonacci, per lo stesso motivo dei conigli (Ron Knott, Università del Surrey; Britannica, numeri di Fibonacci).

Biomedica: l’angolo del girasole dentro la risonanza magnetica

Ed ecco la sorpresa che mi piace di più, perché è vera e salva davvero tempo ai pazienti. In alcune tecniche di risonanza magnetica l’immagine si costruisce raccogliendo dati lungo «raggi» che passano tutti per il centro, come i raggi di una ruota di bicicletta. Il problema: in certi esami, per esempio quando si segue il cuore che batte, non si sa in anticipo quanti raggi si useranno per ogni fotogramma.

La soluzione, proposta nel 2007, è ruotare ogni raggio di 111,25° rispetto al precedente, cioè 180° diviso φ (Winkelmann e colleghi, IEEE Transactions on Medical Imaging 2007; scheda PubMed). Si usa 180° e non 360° perché un raggio che attraversa il centro copre già due direzioni opposte.

È lo stesso trucco del girasole: un angolo che non ripete mai le stesse posizioni, così ci si può fermare in qualsiasi momento e i dati sono comunque ben distribuiti. Il medico può decidere dopo l’esame se vuole più dettaglio o più velocità. La macchina la trovi spiegata nella scheda della risonanza magnetica dell’ospedale, nella guida semplice alla risonanza e nella storia di chi l’ha inventata. Per il resto delle tecnologie del corpo umano c’è la sezione Biomedica.

Il cielo: la rosa di Venere

Venere gira intorno al Sole in circa 224,7 giorni, la Terra in 365,26 (NASA, scheda di Venere). Facciamo i conti: 13 giri di Venere sono 13 × 224,7 ≈ 2921 giorni; 8 anni terrestri sono 8 × 365,26 ≈ 2922 giorni. Un solo giorno di differenza. E 8 e 13 sono due numeri di Fibonacci vicini.

Nello stesso periodo Venere ci passa «davanti», tra noi e il Sole, cinque volte (13 − 8 = 5, un altro Fibonacci). Se disegni il percorso di Venere visto dalla Terra, viene fuori un fiore (Wikipedia, orbita di Venere; ScienceAlert).

È una coincidenza reale ma approssimata: il giorno di differenza fa ruotare lentamente la stella, secolo dopo secolo. Non è una legge che obbliga i pianeti a seguire Fibonacci, ma resta uno degli spettacoli più eleganti del sistema solare, e gli antichi osservatori lo conoscevano già. Le leggi vere delle orbite le puoi provare nella sezione Le leggi del cielo; se vuoi vedere Venere con i tuoi occhi, comincia da Astronomia da zero, dal mio telescopio e da cosa si vede davvero con un 130 mm.

La Borsa: Fibonacci come indicatore

Anche chi guarda i grafici di azioni e criptovalute usa Fibonacci. Lo strumento si chiama ritracciamento di Fibonacci e funziona così. Dopo un movimento forte, per esempio una salita da 100 a 200, il prezzo di solito torna un po’ indietro prima di decidere dove andare. La domanda è: fin dove scenderà? Si prende la salita (100 punti) e si tracciano delle linee orizzontali a certe percentuali della distanza, misurate dal punto più alto:

• 23,6 % → 200 − 23,6 = 176,4 (viene da 1/φ³)
• 38,2 % → 161,8 (viene da 1/φ²)
• 50 % → 150 (questo non è Fibonacci: è solo la metà, aggiunto per abitudine)
• 61,8 % → 138,2 (viene da 1/φ, il famoso 0,618)

Come si usa in pratica. Chi fa trading non compra «perché il prezzo tocca il 61,8 %». Usa le linee come zone da tenere d’occhio: se il prezzo rallenta lì e altri segnali vanno nella stessa direzione, qualcuno decide di entrare, e mette un limite di perdita poco sotto il livello successivo. È uno strumento per organizzare il ragionamento, non una sfera di cristallo.

Funziona davvero? Gli studi sono misti. Uno studio su azioni energetiche americane e criptovalute legate all’energia ha trovato che una strategia basata sui ritracciamenti rendeva più del semplice «compra e tieni» nel periodo 2017–2020, ma con un rapporto tra guadagno e rischio basso e risultati peggiori per le cripto (Gurrib, Nourani e Bhaskaran, Financial Innovation 2022). Un altro, che ha riconosciuto i livelli in automatico su tre mercati azionari, non ha trovato differenze statistiche tra il comportamento del prezzo vicino ai livelli di Fibonacci e vicino a livelli qualunque (Expert Systems with Applications 2021).

La spiegazione più probabile è la profezia che si autoavvera: se milioni di persone guardano la stessa linea al 61,8 % e mettono lì i loro ordini, il prezzo può reagire davvero, non perché il mercato «conosca» φ, ma perché tutti la guardano. Qui, a differenza del girasole, non c’è un motivo fisico: c’è psicologia di massa. Ed è comunque affascinante che un numero nato dai conigli muova soldi veri.

Con il progetto SF Mind sto imparando proprio questo: un’intelligenza artificiale deve misurare se un segnale funziona, non crederci perché ha un bel nome. E con SFuture, la crypto del sito (qui la sua storia), ho scelto un altro numero famoso, il pi greco, come gioco e non come promessa.

Non è una raccomandazione di investimento. Non è consulenza finanziaria: nessuno strumento, Fibonacci compreso, garantisce guadagni, e si può perdere tutto il capitale.

Dove la fantasia ha esagerato

Un numero così bello attira storie, e alcune sono andate oltre i fatti. Nessun dramma: fanno parte del suo fascino, basta saperle riconoscere.

• La conchiglia del nautilus. È davvero una splendida spirale logaritmica, ma cresce con un rapporto di circa 1,33 a giro, non 1,618 (misure di Clement Falbo raccontate da Science News; Sharp, Nexus Network Journal 2002). Bella lo stesso, solo non aurea.
• Il viso «perfetto». Una revisione del 2024 non ha trovato prove solide che la sezione aurea definisca la bellezza del viso (revisione su PMC, 2024). Con tanti punti da misurare, un rapporto vicino a 1,6 salta sempre fuori.
• Il DNA «34 × 21». Un giro dell’elica è lungo circa 34 ångström e largo circa 20, non 21, e le misure cambiano con la forma del DNA (Alberts, Molecular Biology of the Cell, NCBI).
• Il cuore «aureo». Ci sono articoli che cercano φ nel battito, ma per ora sono osservazioni, non prove. Come funziona davvero il cuore lo racconto nell’ospedale del sito.
• Le galassie. I bracci a spirale hanno inclinazioni molto diverse, circa tra 10° e 40°; quella aurea ne ha circa 17°, quindi qualche galassia ci somiglia e la maggior parte no (Wikipedia, angolo di inclinazione di una spirale; l’astronomo Brian Koberlein).

La regola per distinguere è semplice: dove φ c’è davvero, c’è un motivo. Nel girasole e nella risonanza il motivo è riempire lo spazio senza ripetersi; nei conigli e nelle api è la regola di nascita; nel cielo è un incastro di orbite. Quando il motivo manca, di solito manca anche φ.

In sintesi

• La regola «somma i due precedenti» porta da sola a φ = 1,618…, perché φ² = φ + 1.
• φ ha una frazione continua fatta solo di 1: è il numero più difficile da approssimare con una frazione.
• Per questo l’angolo aureo (137,5°) riempie il girasole senza buchi e l’angolo di 111,25° distribuisce bene i raggi della risonanza magnetica.
• Pigne, ananas, foglie e l’albero genealogico del fuco seguono Fibonacci.
• Terra e Venere: 8 anni quasi uguali a 13 giri di Venere, con un fiore a cinque petali.
• In Borsa i ritracciamenti sono zone da osservare, utili soprattutto perché tanti li usano: nessuna garanzia.

Per approfondire

Ti è piaciuto questo viaggio? C’è un altro numero famoso che si nasconde ovunque, dalle onde al battito del cuore: leggi pi greco, dove sta davvero.

Mario Livio, La sezione aurea. Storia di un numero e di un mistero che dura da tremila anni (Rizzoli/BUR, ISBN 978-8817095105) — su Amazon.itaffiliazione. Lo consiglio perché è scritto da un astrofisico con la stessa passione di questo articolo: racconta la storia di φ dai Greci a oggi, ti fa innamorare della sua matematica e, con leggerezza, separa le meraviglie vere dalle leggende su piramidi, quadri e corpo umano.

Fonti

• MacTutor: Leonardo Pisano Fibonacci
• Britannica: Fibonacci
• Singh, The so-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India, Historia Mathematica 1985
• Wikipedia: Pingala
• Swinton e Ochu, Novel Fibonacci and non-Fibonacci structure in the sunflower, Royal Society Open Science 2016
• Douady e Couder, Phyllotaxis as a physical self-organized growth process, PRL 1992
• Ron Knott: Fibonacci numbers and nature
• Britannica: Fibonacci number
• Winkelmann e altri, An optimal radial profile order based on the golden ratio for time-resolved MRI, IEEE TMI 2007
• PubMed: Winkelmann e altri 2007
• NASA: Venus Fact Sheet
• Wikipedia: Orbit of Venus
• ScienceAlert: la danza di Terra e Venere
• Gurrib, Nourani, Bhaskaran, Energy crypto currencies and leading U.S. energy stock prices: are Fibonacci retracements profitable?, Financial Innovation 2022
• Automatic identification and evaluation of Fibonacci retracements: empirical evidence from three equity markets, Expert Systems with Applications 2021
• Science News: Sea shell spirals (misure di Falbo; articolo originale: College Mathematics Journal 36(2), 2005)
• Sharp, Spirals and the Golden Section, Nexus Network Journal 2002
• Revisione 2024 su sezione aurea e proporzioni del viso (PMC)
• Alberts e altri, Molecular Biology of the Cell: la struttura del DNA
• Wikipedia: Pitch angle of a spiral
• Brian Koberlein: Learning Curve

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