esplorazione
La lemniscata: la vera forma dell’infinito, tra Bernoulli, un italiano dimenticato e l’oscilloscopio
Il simbolo ∞ e la curva lemniscata hanno due storie diverse: la regola che la disegna, il conto dell'area, Fagnano, Euler e gli infiniti di Cantor.
Lo abbiamo tutti sotto gli occhi: un otto sdraiato, ∞. Lo troviamo nei tatuaggi, nei loghi, nei braccialetti e nei libri di matematica. Ma quel simbolo ha due vite. Una è quella del segno, inventato nel Seicento per dire «infinito». L’altra è quella di una curva precisa, con una sua regola e una sua equazione, che si chiama lemniscata. Le due storie si sono incontrate solo dopo. E dietro questa forma così semplice ci sono una formula elegante, un matematico italiano dimenticato, il nostro oscilloscopio, il Sole e perfino l’idea che esistano infiniti più grandi di altri.
In breve · tocca per girareCos’è la lemniscata?
È la curva a forma di otto sdraiato che ricorda il simbolo dell’infinito: l’insieme dei punti per cui il prodotto delle distanze da due punti fissi è costante.
Il simbolo ∞ lo introdusse John Wallis nel 1655; la curva la descrisse Jakob Bernoulli nel 1694, chiamandola «lemniscus», nastro.
Misurarne la lunghezza ha fatto nascere un intero capitolo della matematica, partendo dal lavoro dell’italiano Giulio Fagnano.
Prima il segno: ∞
Il simbolo dell’infinito con il significato che usiamo oggi compare per la prima volta in un libro di matematica nel 1655, nel trattato sulle coniche dell’inglese John Wallis, professore a Oxford. Wallis non spiegò mai perché avesse scelto proprio quel segno. L’ipotesi più citata è che venga da un antico modo di scrivere il numero romano mille, che si usava per dire «tantissimo». Non ci sono prove certe, e le altre spiegazioni che si leggono in giro, come il serpente che si morde la coda, non hanno legami documentati con Wallis.
Una cosa però è importante dirla subito: ∞ non è un numero. Non si può fare ∞ − ∞ come si fa 5 − 5. È un modo per dire «più grande di qualunque numero tu possa scegliere», ed è con questo significato che lo abbiamo usato nella terza puntata sugli integrali, quando abbiamo calcolato aree che si estendono «fino all’infinito».
Poi la curva: un nastro chiamato lemniscata
Nel 1694 lo svizzero Jakob Bernoulli pubblicò sulla rivista scientifica Acta Eruditorum lo studio di una curva che descriveva come «a forma di otto, o di nodo, o di fiocco di un nastro». La chiamò lemniscus, in latino il nastro che pendeva dalle corone dei vincitori. Oggi la chiamiamo lemniscata di Bernoulli.
La regola che la disegna è bellissima. Prendi due punti fissi, chiamati fuochi. Per ogni punto P del piano misura la distanza dal primo fuoco e quella dal secondo, e moltiplicale. La lemniscata è l’insieme di tutti i punti in cui quel prodotto ha sempre lo stesso valore: il quadrato di metà della distanza tra i fuochi.
È parente stretta di una curva molto più famosa: l’ellisse, che si ottiene con la stessa idea ma sommando le due distanze invece di moltiplicarle. È la forma delle orbite dei pianeti. Cambiare un’addizione in una moltiplicazione trasforma l’orbita di un pianeta nel simbolo dell’infinito.
In formule, se a è la distanza dal centro alla punta di ciascun ricciolo:
\[(x^2+y^2)^2 = a^2\,(x^2-y^2) \qquad \text{oppure, in coordinate polari,} \qquad r^2 = a^2\cos 2\theta\]
La forma polare è la più comoda: dice che la distanza dal centro vale a nelle due punte, cioè per θ = 0 e θ = 180°, e si riduce a zero quando l’angolo arriva a 45°, nel punto in cui la curva si incrocia.
Una famiglia di curve, e l’infinito in mezzo
Bernoulli non lo sapeva, ma la sua curva era già nascosta in una famiglia più grande. Nel 1680 l’astronomo italiano Gian Domenico Cassini, quello della divisione negli anelli di Saturno, aveva studiato le curve per cui il prodotto delle distanze dai due fuochi è uguale a un valore qualsiasi, che chiamiamo b². Oggi si chiamano ovali di Cassini, e a seconda di quanto vale b rispetto alla distanza a tra il centro e un fuoco cambiano forma in modo sorprendente:
- se b è più piccolo di a, la curva si spezza in due ovali separati, uno intorno a ogni fuoco;
- se b è esattamente uguale ad a, i due ovali si toccano in un punto: è la lemniscata;
- se b è un po’ più grande, diventa un solo ovale con la vita stretta, come un osso di cane;
- da b = a·√2 in su è un ovale pieno, sempre più simile a un cerchio.
La lemniscata, quindi, è il momento esatto in cui due cose separate diventano una sola. Provalo tu: muovi il cursore e portalo su 1,00.
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Area e lunghezza: una facile, una difficilissima
Quanto spazio racchiude la lemniscata? Con gli integrali in coordinate polari il conto è sorprendentemente semplice: l’area di uno spicchio sottile è \(\tfrac12 r^2\,d\theta\), e sommando su tutti e due i riccioli
\[A = 2\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \tfrac12\, a^2 \cos 2\theta \; d\theta = a^2\]
Esattamente a²: l’area dei due riccioli insieme è uguale a quella di un quadrato che ha come lato la distanza dal centro alla punta. Una curva così sinuosa, e un risultato così pulito.
La lunghezza, invece, è tutta un’altra storia. Per calcolarla serve l’integrale
\[L = 4a\int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{1-t^4}} \approx 5{,}244\,a\]
e questo integrale non si risolve con nessuna delle tecniche che abbiamo visto nella seconda puntata sugli integrali: non esiste una primitiva scritta con funzioni elementari. Il numero che ne viene fuori, \(\varpi = 2\int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{1-t^4}} \approx 2{,}622\), si chiama costante della lemniscata. È il «pi greco della lemniscata»: come π misura il cerchio, ϖ misura l’infinito disegnato.
L’italiano che misurò l’infinito: Giulio Fagnano
Ed è qui che entra in scena un matematico italiano che quasi nessuno conosce. Giulio Carlo Fagnano dei Toschi, nato a Senigallia nel 1682, era un nobile con la passione per la matematica. Non riuscendo a calcolare la lunghezza della lemniscata, fece una cosa più furba: scoprì come confrontare tra loro pezzi diversi della curva. Trovò il modo di raddoppiare un arco e di dividere la lemniscata in parti uguali con riga e compasso, in certi casi proprio come si fa con il cerchio. Pubblicò i suoi risultati sui giornali scientifici italiani a partire dal 1718 e li raccolse nel 1750 nelle Produzioni matematiche.
Nel 1751 quei due volumi arrivarono all’Accademia di Berlino e furono dati da esaminare a Leonhard Euler, il più grande matematico del secolo. Euler capì che dietro i trucchi di Fagnano c’era una regola generale, e ne ricavò la formula che sta alla base della teoria degli integrali ellittici. Un secolo dopo il matematico tedesco Carl Jacobi indicò il giorno in cui Euler ricevette quei volumi, il 23 dicembre 1751, come la «data di nascita» della teoria delle funzioni ellittiche. Da quella teoria, passando per tanti altri matematici, nascono le curve ellittiche che oggi proteggono le comunicazioni su internet. C’è un filo che va da un nobile di Senigallia al lucchetto nella barra del tuo browser.
E nel 1799 il giovane Carl Friedrich Gauss annotò nel suo diario una scoperta: il rapporto tra π e la costante della lemniscata coincide con un numero ottenuto da un procedimento elementare, la media aritmetico-geometrica di 1 e √2. Due mondi lontanissimi, il cerchio e l’infinito, legati da una media.
Dove la trovi senza saperlo
Sull’oscilloscopio. Se mandi a un oscilloscopio due onde, una in orizzontale e una in verticale, sullo schermo compare una figura che dipende dal rapporto tra le loro frequenze: sono le figure di Lissajous. Con un rapporto di 1 a 2 e nessuno sfasamento compare un otto, che i matematici chiamano lemniscata di Gerono: non è la stessa di Bernoulli, ma ci somiglia moltissimo. Per decenni i tecnici le hanno usate per confrontare due frequenze a colpo d’occhio. Puoi provarle nella seconda scheda del simulatore qui sopra, e con l’oscilloscopio del sito.
Nel cielo. Se fotografi il Sole dallo stesso punto e alla stessa ora per un anno intero, le sue posizioni disegnano in cielo un otto allungato, chiamato analemma. Nasce da due cose: l’inclinazione dell’asse terrestre, che fa salire e scendere il Sole con le stagioni, e l’orbita ellittica della Terra, che ci fa correre più veloci in inverno e più lenti in estate. Non è una lemniscata vera, ma è il modo con cui il nostro anno disegna un infinito. Ne parliamo nella sezione Astronomia.
Nei simboli di tutti i giorni. Come raccontavo nell’articolo sul linguaggio dei simboli, siamo circondati da segni di cui facciamo finta di conoscere il significato. L’infinito è forse il più usato e il meno capito di tutti.
Infiniti più grandi di altri
Se il simbolo è semplice, l’idea che rappresenta è vertiginosa. Il matematico tedesco David Hilbert, in una lezione del 1924, raccontò la storia di un albergo con infinite stanze, tutte occupate.
Arriva un ospite nuovo. Il direttore chiede a chi sta nella stanza 1 di passare nella 2, a chi sta nella 2 di passare nella 3, e così via: tutti si spostano di una, e la stanza 1 si libera. Arriva un pullman con infiniti ospiti. Il direttore chiede a ognuno di passare nella stanza con il numero doppio: si liberano tutte le stanze dispari, che sono infinite. Un albergo pieno che ha sempre posto: con l’infinito, il buon senso non funziona più.
E c’è di più. Nel 1874 Georg Cantor dimostrò, e nel 1891 lo spiegò con un ragionamento famoso chiamato «argomento diagonale», che gli infiniti non sono tutti uguali. I numeri interi 1, 2, 3… sono infiniti, ma si possono mettere in fila e contare uno alla volta. I numeri con la virgola, invece, sono così tanti che non si possono mettere in nessuna fila: qualunque elenco tu provi a fare, Cantor ti mostra come costruire un numero che manca. Esistono quindi infiniti più grandi di altri. All’epoca molti matematici rifiutarono queste idee; oggi sono alla base della matematica moderna.
Per chi vuole il passaggio: perché la regola del prodotto dà quella equazione · tocca per aprire
Mettiamo i fuochi in \((-c,0)\) e \((c,0)\) e chiediamo che il prodotto delle distanze valga \(c^2\):
\[\sqrt{(x+c)^2+y^2}\;\cdot\;\sqrt{(x-c)^2+y^2} = c^2\]
Elevando al quadrato: \(\big[(x^2+y^2+c^2)+2cx\big]\big[(x^2+y^2+c^2)-2cx\big] = c^4\), cioè \((x^2+y^2+c^2)^2-4c^2x^2 = c^4\).
Sviluppando e semplificando i \(c^4\): \((x^2+y^2)^2+2c^2(x^2+y^2)-4c^2x^2 = 0\), quindi \((x^2+y^2)^2 = 2c^2(x^2-y^2)\).
Chiamando \(a^2 = 2c^2\) si ottiene proprio \((x^2+y^2)^2 = a^2(x^2-y^2)\): la punta dei riccioli dista \(a = c\sqrt2\) dal centro, un po’ più dei fuochi. Passando alle coordinate polari, con \(x = r\cos\theta\) e \(y = r\sin\theta\), si ha \(r^4 = a^2 r^2(\cos^2\theta-\sin^2\theta) = a^2r^2\cos 2\theta\), cioè \(r^2 = a^2\cos 2\theta\).
L’area e la lunghezza indicate nell’articolo sono state verificate con un programma di calcolo: area \(a^2\), lunghezza \(2\varpi a \approx 5{,}2441\,a\), e \(\pi/\varpi \approx 1{,}19814\), che coincide con la media aritmetico-geometrica di 1 e √2.
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Chi introdusse il simbolo ∞ in matematica?
- Jakob Bernoulli
- John Wallis, nel 1655
- Isaac Newton
- Pitagora
Wallis lo usò nel suo trattato sulle coniche, senza spiegare il perché della scelta.
Cosa vuol dire «lemniscus»?
- Infinito
- Otto
- Nastro
- Curva
Era il nastro che pendeva dalle corone: Bernoulli vedeva nella curva il fiocco di un nastro.
Qual è la regola della lemniscata?
- Il prodotto delle distanze da due fuochi è costante
- La somma delle distanze da due fuochi è costante
- La distanza da un punto è costante
- La differenza delle distanze è costante
Con la somma si ottiene l’ellisse, con la distanza costante il cerchio, con la differenza l’iperbole.
Quanto vale l’area della lemniscata r² = a² cos 2θ?
- π a²
- 2a²
- a²/2
- a²
Due volte l’integrale di ½ a² cos 2θ tra −π/4 e π/4: viene esattamente a².
Perché la lunghezza della lemniscata è così difficile da calcolare?
- Perché la curva è infinita
- Perché il suo integrale non ha una primitiva elementare
- Perché nessuno ci ha mai provato
- Perché si incrocia nel centro
È un integrale ellittico: da questo problema, con Fagnano ed Euler, è nato un intero capitolo della matematica.
Secondo Cantor, ci sono più numeri interi o più numeri con la virgola?
- Più interi
- Sono tanti uguali, entrambi infiniti
- Più numeri con la virgola: sono un infinito più grande
- Non si può dire
Gli interi si possono mettere in fila e contare, i numeri reali no: l’argomento diagonale lo dimostra.
E tu, dove hai visto l’infinito l’ultima volta? Raccontalo nei commenti o nel forum.
Fonti
- MacTutor History of Mathematics, Università di St Andrews: Lemniscate of Bernoulli e Giulio Carlo Fagnano dei Toschi.
- Wikipedia, Table of mathematical symbols by introduction date, per Wallis e il simbolo ∞ (1655).
- «Looking backward: From Euler to Riemann», arXiv, 2017, sulla data del 23 dicembre 1751 e la frase di Jacobi.
- Wikipedia, Analemma.
- H. Kragh, «The True (?) Story of Hilbert’s Infinite Hotel», arXiv, 2014.
- Wikipedia, Cantor’s diagonal argument.
- Area, lunghezza e costante della lemniscata verificate con SymPy e mpmath. Schemi e simulatore: sandrofeudo.com. Copertina provvisoria: sandrofeudo.com.
Fine dell'articolo
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